Perkalian Skalar Dua Vektor

34Perkalian dua vektor dapat dibedakan menjadi dua yaitu perkalian titik (dot product) yang biasa disebut perkalian skalar dan perkalian silang (cross product) yang biasa disebut perkalian vektor. perkalian skalar atau perkalian titik antara dua vektor menghasilkan nilai skalar sedangkan perkalian silang dua vektor akan menghasilkan vektor pula. Perkalian titik dua vektor didefinisikan sebagai suatu skalar yang nilainya sama dengan hasil kali antara besar kedua vektor dengan kosinus sudut apitnya.

Perkalian dua vektor dapat dikaji secara geometris ataupun secara aljabar. Hasil yang diperoleh dari dua metode tersebut adalah sama.

Secara geometris, perkalian skalar antara dua vektor adalah hasil kali antara besar vektor pertama dengan proyeksi vektor kedua.
Secara matematis perkalian skalar dua vektor dapat ditentukan dengan rumus :

a . b = |a|.|b| cos θ

Dengan :
|a| = besar vektor a
|b| = besar vektor b
θ = sudut antara vektor a dan b.

Misal dua vektor A dan B dinyatakan dengan :
A = aî + bĵ  + ck̂
B = kî + mĵ  + nk̂

Maka perkalian skalar antara A dan B adalah :
⇒ A.B = |A|.|B| cos θ
⇒ A.B = √a2 + b2 + c2.√k2 + m2 + n2 cos θ

Rumus perkalian skalar di atas biasanya digunakan untuk menentukan besar sudut antara dua vektor dengan menggunakan hasil kali berdasarkan perhitungan aljabar. Selain itu, rumus ini juga digunakan untuk menentukan nilai variabel dalam vektor jika sudut apitnya diketahui.

Contoh :

  1. Diketahui vektor A = 2î + 5ĵ  + 4k̂ dan B = î + 2ĵ  − 3k̂. Sudut antara A dan B adalah ….
A. 90o D. 45o
B. 60o E. 30o
C. 53o

Pembahasan :
Berdasarkan rumus perkalian skalar :
⇒B = |A|.|B| cos θ
⇒ (2î + 5ĵ  + 4k̂)(î + 2ĵ  − 3k̂) = |A|.|B| cos θ
⇒ 2(1) + 5(2) + (4)(-3) = |A|.|B| cos θ
⇒ 2 + 10 − 12 = |A|.|B| cos θ
⇒ 0 = |A|.|B| cos θ

⇒ cos θ = 0
⇒ θ = 90o

Jawaban : A

  1. Diketahui vektor a = 2î + 4ĵ  − nk̂ dan B = î + 2ĵ  + 2k̂. Jika kedua vektor tersebut saling tegak lurus, maka nilai n adalah …..
A. 100 m D. 115 m
B. 105 m E. 125 m
C. 110 m

Pembahasan :
Berdasarkan konsep perkalian skalar secara geometris :
⇒b = |a|.|b| cos θ
⇒ a.b = |a|.|b| cos 90o
⇒ (2î + 4ĵ  − nk̂).(î + 2ĵ  + 2k̂) = |a|.|b| (0)
⇒ 2(1) + 4(2) + (-n)(2) = 0
⇒ 2 + 8 − 2n = 0
⇒ 10 − 2n = 0
⇒ -2n = -10
⇒ n = 5

Perkalian Skalar Secara Aljabar

Misal dua vektor A dan B dinyatakan dengan :
A = aî + bĵ  + ck̂
B = kî + mĵ  + nk̂

Maka perkalian skalar antara A dan B adalah :
⇒ A.B = a(k) + b(m) + c(n)

Contoh :
Vektor a dan b diberikan sebagai berikut :

a =  2    dan b =  4
-1  2
-3 -1

Tentukan hasil perkalian skalar antara a dan b.

Pembahasan :

⇒ a.b = a(k) + b(m) + c(n)
⇒ a.b = (2î − ĵ − 3k̂)(4î + 2ĵ − k̂)
⇒ a.b = 2(4) + (-1)(2) + (-3)(-1)
⇒ a.b = 8 − 2 + 3
⇒ a.b = 9

Video penjelasannya

Semoga memberi manfaat

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s