Proyeksi Vektor

Kali ini adalah Postingan materi terakhir untuk bab Vektor, postingan kali ini tentang proyeksi vektor. Asal kata dari proyeks yang menurut kamus besar bahasa indonesia berarti memberikan gambar suatu benda yang dibuat rata (mendatar) atau berupa garis-garis pada bidang datar.

Misal kita punya dua buah vektor yaitu a dan u yang berada pada ruang yang sama seperti terlihat pada gambar dibawah ini.

Photobucket

Jika vektor u dan a ditempatkan sedemikian sehingga titik awalnya berimpit dan vektor u disusun dari dua vektor yang saling tegak lurus yaitu w1 danw2, sehingga vektor u dapat dituliskan sebagai u = w1 + w2. Kemudian vektora terletak sejajar dengan w1, sedemikian sehingga w1 = ka. Jika kita lihat vektor w1 pada gambar diatas maka vektor w1 diperoleh dari proyeksi ortogonal u terhadap a dan dapat ditulis sebagai w1 = ka, w1 disebut proyeksi ortogonal u pada a [ditulis : proyau] atau dinamakan komponen vector u sepanjang a,sedangkan w2 disebut komponen vektor u yang ortogonal terhadap a. Nilai k ini akan menentukan arah dan panjang dari w1. Jika sudut antara u dan a adalah tumpul , maka tentunya nilai k akan negatif ini juga berarti arah w1 akan berlawanan dengan arah a [perhatikan gambar diatas].

Perhatikan video penjelasan berikut ini

contoh :

Carilah proyeksi ortogonal dari u pada a dan komponen vektor u yang orthogonal ke a.

  1. u = (2, 1), a = (-3, 2)

    u.a = (2, 1).(-3, 2)

    = 2(-3) + 1(2)

    = -6 + 2

    = -4

    \left \| a \right \|^2 = (-3)2 + 22

    = 9 + 14

    = 13

    proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

    = \dfrac{-4}{13} (-3, 2)

    = (12/13, -8/13)

    w2 = u – proyau

    = (2, 1) – (12/13, -8/13)

    = (14/13, 21/13)

  2. u = (-7, 1, 3), a = (5, 0, 1)

    u.a = (-7, 1, 3). (5, 0, 1)

    = -7(5) + 1(0) + 3(1)

    = -35 + 0 + 3

    = -32

    \left \| a \right \|^2 = (5)2 + 02 + 12

    = 25 + 0 + 1

    = 26

    proyau = \dfrac{u \cdot a}{\left \| a \right \|^2} a

    = \dfrac{-32}{26} (5, 0, 1)

    = (-80/13, 0, -16/13)

    w2 = u – proyau

    = (-7, 1, 3) – (-80/13, 0, -16/13)

    = (-11/13, 1, 55/13)

Semoga memberi manfaat

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s